Dois-je informer ma banque ?

Oui. Prenez rendez-vous le plus rapidement possible avec votre (nouvelle) agence :

pour communiquer votre changement d’adresse ;
pour faire scanner votre carte d’identité modifiée ;
pour faire adapter vos polices d’assurance ;
pour éventuellement faire la connaissance de la personne de contact de votre nouvelle agence.